PDF-версии: 
Пусть 
— вершины правильного пятиугольника, вписанного в единичную окружность с центром O.
а) Докажите, что 
б) Докажите, что 
в) Докажите, что многочлен 
делится на многочлен 
Решение. а) Пусть zk — комплексные числа, соответствующие точкам Ak единичной окружности, расположенные так, что 
Тогда 
а 
Утверждение задачи следует из того, что
Заметим, что так как 
то доказанное тождество имеет следующую тригонометрическую форму
б) Имеем 
и 
После небольших преобразований получаем, что искомое тождество равносильно тождеству, указанному в конце решения предыдущего пункта.
в) Достаточно проверить, что каждый корень второго многочлена является корнем и первого. Корнями второго являются комплексные числа 
Таким образом,
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |