PDF-версии: 
а) Какое из чисел больше, 
или 
б) Представьте число 1997 в виде суммы нескольких натуральных слагаемых с максимально возможным произведением.
в) Докажите, что произведение нескольких положительных чисел, сумма которых равна 1997, не превосходит 
Решение. а) Преобразуем исходное выражение 
поэтому второе число больше.
Ответ: 
б) Число 1997 есть сумма одной двойки и 665 троек, таким образом максимальное значение произведения равно 
Идея рассуждения: если 
где 
то 
(докажите это). Поэтому произведение 
в котором хотя бы одно из чисел ni больше четырех, не может быть наибольшим. Так как 
то четверки можно из рассмотрения исключить. Таким образом, наибольшее произведение натуральных чисел с заданной суммой следует искать среди произведений двоек и троек. Осталось заметить, что в силу утверждения предыдущего пункта двоек должно быть как можно меньше.
в) Из неравенства Коши
следует, что произведение k положительных чисел, сумма которых равна 1997, не превосходит 
которое, в свою очередь, не превосходит наибольшего значения функции 
(при 
). Дифференцируя, получаем
следовательно, наибольшее значение функции f, которое достигается при 
равно 
(здесь мы воспользовались тем, что 
).
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |