Ре­ше­ние. а)Оче­вид­но при левая часть по­ло­жи­тель­на, а пра­вая от­ри­ца­тель­на, по­это­му от­ри­ца­тель­ных кор­ней быть не может. При по­ло­жи­тель­ных x по­де­лим урав­не­ние на По­лу­чим

В левой части сумма k вы­ра­же­ний вида что при по­ло­жи­тель­ных a не мень­ше двух:

при­чем ра­вен­ство до­сти­га­ет­ся толь­ко при По­это­му сумма k таких вы­ра­же­ний не мень­ше и ра­вен­ство до­сти­га­ет­ся толь­ко при Пе­ре­пи­ши­те урав­не­ние в виде

Ответ:

б)  До­ка­жи­те, что если все не­ну­ле­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты не­ко­то­ро­го мно­го­чле­на равны то все его корни по мо­ду­лю мень­ше двух.

За­пи­шем мно­го­член в виде (если стар­ший ко­эф­фи­ци­ент равен −1, до­мно­жим его на −1 от этого его корни не из­ме­нят­ся.

Пусть a его ко­рень, Тогда но

Про­ти­во­ре­чие. До­ка­жи­те, что если то

в)  В силу обоб­щен­ных фор­мул Виета, из дан­ных урав­не­ний сле­ду­ет, что числа суть корни ку­би­че­ско­го мно­го­чле­на По­строй­те обыч­ным спо­со­бом гра­фик ку­би­че­ской функ­ции взгля­ни­те на по­лу­чен­ный ри­су­нок и ... ре­ше­ние за­кон­че­но!

Из­вест­но, что и До­ка­жи­те, что Рас­смот­рим ку­би­че­ский мно­го­член

Он имеет корни Обо­зна­чив по­лу­чим, что урав­не­ние имеет три корня. Вы­яс­ним для на­ча­ла, когда это воз­мож­но.

Пусть тогда

по­это­му воз­рас­та­ет при убы­ва­ет при и воз­рас­та­ет при При этом и по­это­му урав­не­ние имеет три корня тогда и толь­ко тогда, когда

Далее, и по­это­му пря­мая пе­ре­се­ка­ет гра­фик функ­ции на про­ме­жут­ке при а на про­ме­жут­ке при От­сю­да и по­лу­ча­ем, что