PDF-версии: 
а) Найдите все пары a, b комплексных чисел, таких что 
и 
б) Докажите, что если 
то 
в) Докажите, что если
то 
Решение. а) Заметим, что 
и аналогично 
Тогда можно преобразовать последнее уравнение
Значит либо 
либо 
(первый вариант включается во второй). Во втором случае 
и, значит, 
или 
или 
Итак, общий ответ — либо числа равны, либо их аргументы различаются на 
в одну из сторон.
Ответ: 
где ε — кубический корень из 1. Запишите 
в виде 
подставьте это выражение в заданное условие и решите полученное тригонометрическое уравнение.
б) Заметим, что и аналогичные равенства верны при b и c. Докажем, что
Раскрыв скобки, получим в обеих частях три единицы и сумму всех дробей вида «одно из чисел делить на другое».
Раскройте скобки и преобразуйте выражения
в) Докажите, что если
Из условия следует, что 
и 
откуда
откуда 
и поэтому 
Значит,
и поэтому 
Аналогично докажем, что 
Рассмотрим комплексные числа 
Данные равенства для x, y, z равносильны одному равенству 
для a, b, c. Поскольку модуль каждого из чисел a, b, c равен единице, то их аргументы отличаются на 
Раз, к примеру, 
то 
откуда и следует, что 
Попробуйте найти элементарное решение, в котором комплексные числа не используются.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
где ε — кубический корень из 1. Запишите в виде подставьте это выражение в заданное условие и решите полученное тригонометрическое уравнение. где ε — кубический корень из 1. Запишите в виде подставьте это выражение в заданное условие и решите полученное тригонометрическое уравнение.