PDF-версии: 
а) Нарисуйте график функции 
б) Решите уравнение 
в) Решите неравенство 
г) Задумав жениться, Иван открыл счет в банке и решил ежегодно вносить на него 10 000 рублей. Сколько денег на семейный отдых он сможет тратить через 8 лет, если будет брать только проценты с накопленной за это время суммы? Банк дает 30% годовых, а 
Решение. а) Функция
— возрастающая и ее корень — 
Ответ: См. рисунок.
б) Возведя в квадрат, получим уравнение 
из корней которого следует взять лишь те, для которых 
в) Решение: Заметим прежде всего, что записать верное решение этой задачи, не используя ее геометрической интерпретации, достаточно трудно, что видно хотя бы из ответа. Положим для краткости его записи: 
Итак, ответ: 
при 
при 
при 
при 
при 
при 
решение понятно из следующей серии графиков.
Ответ: 
г) (Прочитав формулировку задачи, один из моих коллег сказал, что ответ в ней — «ничего», поскольку банк, который выплачивает такой процент, заведомо прогорит. И, как мы увидели на практике, он оказался прав. Но это уже совсем другая наука...). Конечно, можно прямо подсчитать, сколько же денег на счету окажется у Ивана через 8 лет. Заметим, что проделать аналогичное вычисление при решении задачи 2г) следующего варианта будет более затруднительно, не говоря уже о том, что делать это без калькулятора просто глупо.
Мы проведем вычисления в общем виде, воспользовавшись численными данными лишь на заключительном этапе решения. Итак, пусть a — вносимая Иваном ежегодно сумма, а 
— начисляемый годовой процент. В первый год он внес a рублей, так что после начисления годовых процентов через год у него на счету будет
Удобно ввести дополнительное обозначение 
так что если некто имел на счету в начале года s рублей, то после начисления процентов у него окажется sq рублей. Вернемся к Ивану. После того, как он в конце первого года внес снова свои a рублей, у него на счету стало их 
далее, в конце второго года их станет (после очередного
В нашем случае 
так как 
Поэтому имеется по крайней
Ответ: 90 000 рублей.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
90 000 рублей. 90 000 рублей.