РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 21 № 11015 Добавить в вариант

Олимпиада Юношеской математической школы, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2024 год

Классификатор: Олимпиадная геометрия. Движения плоскости и пространства, Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур

Будем называть треугольник DEF вписанным в треугольник ABC, если точки D, E, F находятся на сторонах BC, AC, AB соответственно.

В треугольник DEF вписан треугольник XYZ, гомотетичный треугольнику ABC. Докажите, что описанная окружность треугольника DEF касается описанной окружности ABC тогда и только тогда, когда касается описанной окружности XYZ.

Решение. Окружность (DEF) повторно пересекает стороны BC, AC, AB в точках D', E', F' соответственно. Окружность (XYZ) повторно пересекает стороны EF, DF, DE в точках X', Y', Z' соответственно. Окружности (EX'Z') и (FX'Y') повторно пересекаются в точке M. Заметим, что

$\angle Y'M Z'=\angle D E F плюс \angle D F E= Пи минус \angle E D F,$

поэтому M лежит на окружности (DY'Z') Также

$\angle E M F=\angle F M X' плюс \angle E M X'=\angle F Y'X' плюс \angle EZ'X'=\angle F X Y плюс \angle E X Z= Пи минус \angle A,$

поэтому M лежит на окружности (AEF). Аналогично M лежит на окружностях (BFD), (CED). Пусть ΦΕ  — инверсия с центром в точке M и произвольным радиусом. Тогда

$\angle \Phi левая круглая скобка Y' правая круглая скобка \Phi левая круглая скобка X' правая круглая скобка \Phi левая круглая скобка Z' правая круглая скобка =\angle M \Phi левая круглая скобка X' правая круглая скобка \Phi левая круглая скобка Y' правая круглая скобка плюс \angle M \Phi левая круглая скобка X' правая круглая скобка \Phi левая круглая скобка Z' правая круглая скобка =$
$=\angle MY'X' плюс \angle M Z'X' = \angle M F E плюс \angle M E F=\angle A.$

Также

$\angle \Phi левая круглая скобка X' правая круглая скобка \Phi левая круглая скобка E правая круглая скобка \Phi левая круглая скобка F правая круглая скобка =\angle F M X'=\angle F Y'X'=\angle F X Y=\angle A F E=\angle A E' F'.$

Аналогично $\angle \Phi левая круглая скобка X' правая круглая скобка \Phi левая круглая скобка F правая круглая скобка \Phi левая круглая скобка E правая круглая скобка =\angle AF'E'.$ Следовательно, треугольники AE'F' и Φ(X')Φ(E)Φ(F) подобны. Проделывая аналогичные рассуждения для двух других сторон, мы получаем

$\triangle A B C \cup \triangle D'E'F'\sim \triangle \Phi левая круглая скобка X' правая круглая скобка \Phi левая круглая скобка Y' правая круглая скобка \Phi левая круглая скобка Z' правая круглая скобка \cup \triangle \Phi левая круглая скобка D правая круглая скобка \Phi левая круглая скобка E правая круглая скобка \Phi левая круглая скобка F правая круглая скобка .$

Следовательно, угол между окружностями Φ((X'Y'Z')) и Φ((DEF)) равен углу между окружностями (ABC) и (DEF) по подобию, с другой стороны, он равен углу между окружностями (X'Y'Z') и (DEF), так как инверсия сохраняет углы.

Олимпиада: Олимпиада Юношеской математической школы

Класс: 10

Тур: 2 тур (заключительный)

Год: 2024

Ключ