PDF-версии: 
Последовательность 
начальный член 
которой — натуральное число, задана соотношениями
а) Найдите все периодические последовательности данного вида.
б) Докажите, что всякая последовательность данного вида имеет периодический «хвост», т. е. для нее найдутся такие натуральные числа N и t, что 
для всякого 
Решение. а) Найдите все периодические последовательности данного вида.
Отметим, что если xn нечетно, то 
четно и
при 
Если же xn четно, то 
Итак, если в последовательности есть число, большее, чем 7, то один из следующих членов последовательности будет меньше него. Поэтому в периодической последовательности наименьший элемент периода не превосходит 7. Попробуем начать последовательности с таких чисел. Составим 
(заодно разобраны числа 2, 4, 8 и последовательности, начинающиеся с них); 
(заодно разобраны числа 5, 6, 10, 12 и последовательности, начинающиеся с них); 
(заодно разобрано число 14).
Итак, периодические последовательности могут начинаться только с чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14.
б) Докажите, что всякая последовательность данного вида имеет периодический «хвост», т. е. для нее найдутся такие натуральные числа N и t, что для всякого
Из доказанного выше следует, что для любого члена последовательности, который больше семи, найдется член последовательности, меньший данного. Значит, в любой последовательности можно найти член, не превосходящий 7. Начиная с него последовательность окажется периодична.
Ответ: а) одиннадцать последовательностей с начальными членами из множества 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |