PDF-версии: 
Высота каждой из 2019 ступенек «лестницы» (см. рисунок) равна 1, а ширина — увеличивается от 1 до 2019. Правда ли, что отрезок, соединяющий левую нижнюю и правую верхнюю точки этой лестницы, не пересекает лестницу?
Решение. Пусть Ai 
— основание i-й ступеньки (в частности, A1 — левая нижняя точка лестницы), A2020 — верхняя правая точка лестницы. Наклон (тангенс угла с горизонтальным направлением вправо) отрезка AiAi + 1 равен 
и, значит, убывает с ростом i.
Ясно, что отрезок A1A2 не пересекает лестницу. Докажем, что если отрезок A1An не пересекает лестницу, то и следующий отрезок, A1An + 1, ее не пересекает. Действительно, точка An − 1 лежит не ниже отрезка A1An, поэтому наклон отрезка An − 1An не больше, чем у A1An. А так как у AnAn + 1 наклон меньше (как отмечено выше), точка An + 1 лежит ниже прямой A1An. Поскольку отрезок A1An не пересекает лестницу, её не пересекает и отрезок A1An + 1.
Таким образом, лестницу не пересекает ни один из отрезков A1AN, в частности, A1A2000.
Ответ: да, не пересекает.
| Критерий | Балл |
|---|---|
| Только ответ | − |
| Арифметическая ошибка при верном ходе рассуждений | Не выше ± |
| В решении неверно названы используемые тригонометрические функции, в остальном решение верно | ± |
| Утверждается, но не доказано, что при возрастающей ширине ступенек и постоянной единичной высоте отрезок будет всегда под лестницей | − |
| Утверждается, но не доказано, что вершины «внутренних» углов лестницы лежат на параболе | Не выше ∓ |
| Утверждается, но не доказано, что ломаная, проходящая через вершины «внутренних» углов лестницы, вместе с вертикальным и горизонтальным отрезками, проходящими соответственно справа и под лестницей, образует выпуклый многоугольник | Не выше ∓ |
| Доказано, что вершины «внутренних» углов лестницы не лежат на рассматриваемом отрезке, но не доказано, что они строго выше отрезка | Не выше ∓ |
| Приведено сравнение нескольких углов с углом наклона отрезка, соединяющего начало и конец лестницы, но не обосновано, что для остальных углов | Не выше ∓ |