PDF-версии: 
На плоскости отмечено 2018 точек так, что любая прямая содержит не более двух отмеченных точек. Докажите, что найдутся 1009 попарно пересекающихся прямых таких, что каждая отмеченная точка лежит на одной из этих прямых.
Решение. Проведём прямую l такую, что по каждую сторону от неё находится 1009 точек (для этого достаточно рассмотреть прямую, не параллельную ни одной из прямых, соединяющих пары точек, и двигать её до тех пор, пока по каждую сторону от неё не останется по 1009 точек). Обозначим выпуклую оболочку точек по одну сторону от l через Φ1 а по другую сторону — через Φ2. Начнём вращать прямую l против часовой стрелки так, чтобы она не пересекалась ни с внутренностью Φ1, ни с внутренностью Φ2. В какой-то момент мы не сможем продолжить вращение, поскольку l будет проходить через вершину Φ1 и вершину Φ2. Мы дадим этим точкам номера 1 и 2, выкинем их из рассмотрения, перестроим Φ1 и Φ2, и продолжим вращение. Аналогичным образом мы определим точки 3 и 4, 5 и 6 ..., 2017 и 2018. Все прямые, проходящие через выбранные точки, будут пересекаться, поскольку имеют различные углы наклона по отношению к первоначальному положению прямой l, поскольку невозможно сделать полный оборот прямой, пока в каждой из полуплоскостей есть хотя бы одна отмеченная точка (полуплоскости меняются местами, а точки остаются на месте). Таким образом, мы построили требуемые прямые.
| Критерий | Балл |
|---|---|
| Показано, что существует прямая, разделяющая множество точек на две равные части и имеется последующее рассуждение о её вращении, но это рассуждение не обосновано | ∓ |