РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 21 № 11355 Добавить в вариант

Турнир имени М. В. Ломоносова, 10, 11, 7, 8, 6, 9 класс, 1 тур (отборочный), 2016 год

Классификатор: Методы геометрии. Теорема косинусов, Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур

Шесть равносторонних треугольников расположены, как на рисунке. Докажите, что сумма площадей заштрихованных треугольников равна сумме площадей закрашенных треугольников.

Решение. Обозначим вершины так, как показано на картинке. Заметим, что $OA=OX,$ $OB=OY,$ a

$\angle A O B плюс \angle X O Y=360 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle A O X минус \angle B O Y=360 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$

откуда

$косинус \angle X O Y= косинус левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle A O B правая круглая скобка = минус косинус \angle A O B.$

Поскольку площадь равностороннего треугольника со стороной t равна $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби t в квадрате ,$ достаточно доказать, что

$A B в квадрате плюс X Y в квадрате =2 левая круглая скобка A O в квадрате плюс B O в квадрате правая круглая скобка .$

По теореме косинусов для треугольников AOB и XOY имеем

$A B в квадрате =O A в квадрате плюс O B в квадрате минус 2 O A умножить на O B умножить на косинус \angle A O B,$

$X Y в квадрате =O X в квадрате плюс O Y в квадрате минус 2 O X умножить на O Y умножить на косинус \angle X O Y.$

Складывая эти два равенства, получаем требуемое.

Критерии проверки:

Критерий	Балл
Задача решена полностью	+
Задача не решена	−
Участник не приступал к решению задачи	0
В решении получена или используется неверная формула площади правильного треугольника, в остальном доказательство верное	±

Олимпиада: Турнир имени М. В. Ломоносова

Класс: 10, 11, 7, 8, 6, 9

Тур: 1 тур (отборочный)

Классификатор: Методы геометрии. Теорема косинусов, Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур

Год: 2016

Ключ