РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 1138 Добавить в вариант

Олимпиада школьников Физтех, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур, Методы геометрии. Свойства хорд, касательных, секущих

Дана равнобокая трапеция ABCD (AD и BC  — параллельны, $AD больше BC правая круглая скобка .$ Окружность $\Omega$ вписана в угол BAD, касается отрезка BC в точке C и повторно пересекает CD в точке E, так что $CE= 9,$ $ED=16.$ Найдите радиус окружности $\Omega$ и площадь трапеции ABCD.

Решение. Обозначим точки касания окружности со сторонами AB и AD трапеции через K и W соответственно. По теореме о касательной и секущей

$D W в квадрате =D E умножить на D C=16 умножить на 25 равносильно D W=20.$

Так как C и W  — точки касания окружности с параллельными прямыми BC и AD, отрезок CW есть диаметр окружности, перпендикулярный этим прямым. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $C D W$ находим, что

$C W= корень из: начало аргумента: 25 в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус 20 в квадрате правая круглая скобка =15.$

Следовательно, радиус R окружности равен

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби C W= дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби .$

Пусть $B C=x .$ Тогда $B K=x$ (касательные, проведённые к окружности из одной точки, равны), а в силу того, что трапеция равнобедренная,

$A K=A B минус B K=25 минус x .$

Значит, $A W=A K=25 минус x .$ Отсюда получаем, что сумма оснований есть

$B C плюс A D=x плюс левая круглая скобка 45 минус x правая круглая скобка =45,$

и площадь трапеции равна

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 15 умножить на 45= дробь: числитель: 675, знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $r= дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $S_ABCD= дробь: числитель: 675, знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

Найден радиус окружности — 2 балла.

Найдена площадь трапеции — 2 балла.

Ответ: $r= дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $S_ABCD= дробь: числитель: 675, знаменатель: 2 конец дроби .$

1138

$r= дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $S_ABCD= дробь: числитель: 675, знаменатель: 2 конец дроби .$

Олимпиада: Олимпиада школьников Физтех

Класс: 9

Тур: 2 тур (заключительный)

Год: 2019

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1138	$r= дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $S_ABCD= дробь: числитель: 675, знаменатель: 2 конец дроби .$