В треугольнике ABC с прямым углом C провели высоту CH. Окружность, проходящая через точки C и H, повторно пересекает отрезки AC, CB и BH в точках Q, P и R соответственно. Отрезки HP и CR пересекаются в точке T. Что больше: площадь треугольника CPT или сумма площадей треугольников CQH и HTR?
Решение. 
Решение 1. Добавим к рассматриваемым площадям площадь треугольника PTR. Получим, что нужно проверить равенство
Поскольку 
то CR — диаметр проведённой окружности, откуда 
В четырёхугольнике CPRQ три угла прямые, поэтому он является прямоугольником.
Опустим из точки H перпендикуляры HX и HY на прямые CQ и PR соответственно. Сумма их длин равна длине стороны CP прямоугольника. Следовательно,
Решение 2. Добавим к рассматриваемым площадям площадь четырёхугольника BPTR. Получим, что нужно проверить равенство
Из вписанности CPRH следует, что 
Поскольку PQ — диаметр окружности, то 
поэтому
Каждый из углов HCQ и CBH дополняет угол BCH до 90°, поэтому
Следовательно, треугольники CQH, BPH и BRC подобны по двум углам. Tогда площади этих треугольников относятся как квадраты коэффициентов подобия, поэтому
Ответ: они равны.
Ответ: они равны.
PDF-версии: 