РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 1414 Добавить в вариант

Олимпиада школьников Физтех, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур, Методы геометрии. Подобие, Методы геометрии. Свойства хорд, касательных, секущих

Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает его стороны AB и BC в точках K и T соответственно, причём $AK :KB = 3: 2,$ $BT: TC= 1 : 2.$ Найдите AC, если $KT = корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента .$

Решение. Пусть $B K=2 x,$ $B T=y;$ тогда $A K=3 x,$ $C T=2 y.$ По теореме о двух секущих $B K умножить на B A=B T умножить на B C,$ откуда

$2 x умножить на 5 x=y умножить на 3 y равносильно y=x корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента .$

Треугольники ABC и TBK подобны по двум сторонам и углу между ними $левая круглая скобка B A: B T=B C: B K,$ $\angle B минус .$ общий), а коэффициент подобия равен

$дробь: числитель: B C, знаменатель: B K конец дроби = дробь: числитель: 3 y, знаменатель: 2 x конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента = корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента .$

Значит,

$A C=K T умножить на корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента =3 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

Ответ: $3 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

Критерии проверки:

Доказано подобие треугольников с общим углом — 2 балла.

Вычислен отрезок — 3 балла.

Ответ: $3 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

1414

$3 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

Олимпиада: Олимпиада школьников Физтех

Класс: 9

Тур: 2 тур (заключительный)

Год: 2016

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1414	$3 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$