Ре­ше­ние. Будем пред­став­лять пар­тию в виде ори­ен­ти­ро­ван­но­го графа: пар­тий­цев  — в виде вер­шин, а если пар­ти­ец A до­ве­ря­ет пар­тий­цу B, то со­еди­ним вер­ши­ну A с B реб­ром со стрел­кой, на­прав­лен­ной от A к B. Усло­вие того, что ни­ка­кие два пар­тий­ца не до­ве­ря­ют друг другу, эк­ви­ва­лент­но усло­вию того, что ни­ка­кие две вер­ши­ны не со­еди­не­ны двумя про­ти­во­по­лож­но на­прав­лен­ны­ми ори­ен­ти­ро­ван­ны­ми рёбрами. Будем на­зы­вать это усло­ви­ем од­но­го ребра. По­стро­им при­мер пар­тии из 11 че­ло­век, удо­вле­тво­ря­ю­щей усло­вию за­да­чи. Раз­ме­стим 11 че­ло­век в вер­ши­нах пра­виль­но­го 11-уголь­ни­ка A₁ . . . A₁₁. Для каж­дой вер­ши­ны A_i на­пра­вим по ори­ен­ти­ро­ван­но­му ребру из неё в каж­дую из пяти вер­шин, сле­ду­ю­щих за ней по ча­со­вой стрел­ке. Утвер­жда­ет­ся, что усло­вие од­но­го ребра вы­пол­не­но. Дей­стви­тель­но, для каж­до­го ори­ен­ти­ро­ван­но­го ребра, иду­ще­го от не­ко­то­рой вер­ши­ны A_i к A_j, име­ет­ся не более 4 вер­шин, сле­ду­ю­щих от A_i к A_j в на­прав­ле­нии по ча­со­вой стрел­ке. А осталь­ных вер­шин 11-уголь­ни­ка, от­лич­ных от A_i, A_j и вы­ше­упо­мя­ну­тых по­сле­до­ва­тель­ных вер­шин между ними не мень­ше, чем 11 − 6 = 5, и они идут по­сле­до­ва­тель­но от A_j к A_i по ча­со­вой стрел­ке «с дру­гой сто­ро­ны». Пред­по­ло­жим про­тив­ное: усло­вие од­но­го ребра не вы­пол­не­но, то есть не­ко­то­рая пара вер­шин A_i и A_j со­еди­не­на двумя про­ти­во­по­лож­но на­прав­лен­ны­ми рёбрами. Тогда в силу преды­ду­ще­го, име­ет­ся два на­бо­ра по­сле­до­ва­тель­ных вер­шин, каж­дый из не более, чем 4 вер­шин: вер­ши­ны од­но­го на­бо­ра идут от A_i к A_j по ча­со­вой стрел­ке, а вер­ши­ны дру­го­го  — от A_j к A_i по ча­со­вой стрел­ке. Сле­до­ва­тель­но, эти на­бо­ры не пе­ре­се­ка­ют­ся, и вме­сте с вер­ши­на­ми A_i и A_j (итого не более, чем 4 + 4 + 2 = 10 вер­шин) они по­кры­ва­ют все 11 вер­шин 11-уголь­ни­ка. По­лу­чен­ное про­ти­во­ре­чие до­ка­зы­ва­ет, что усло­вие од­но­го ребра вы­пол­не­но.

До­ка­жем те­перь, что для пар­тии мень­ше­го раз­ме­ра это не воз­мож­но. Пусть n  — общее число чле­нов пар­тии, удо­вле­тво­ря­ю­щей усло­ви­ям за­да­чи. Тогда общее число ори­ен­ти­ро­ван­ных рёбер равно 5n: по 5 рёбер, ис­хо­дя­щих из каж­дой вер­ши­ны. С дру­гой сто­ро­ны, общее число рёбер не пре­вос­хо­дит мно­же­ства пар раз­лич­ных вер­шин (усло­вие од­но­го ребра), ко­то­рое, в свою оче­редь, равно

Тем самым,

что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Ответ: 11.