PDF-версии: 
В каждой клетке таблицы 5 на 5 записано по одной букве так, что в любой строке и в любом столбце не больше трёх различных букв. Какое наибольшее число различных букв может быть в такой таблице?
Решение. Если в каждой строке не больше двух различных букв, то общее их число не превосходит 10 = 5 · 2. Далее можно считать, что в первой строке ровно три различных буквы. Если каждая из оставшихся строк имеет хотя бы одну общую букву с первой, то общее число букв не превосходит 3 + 4 · 2 = 11. Пусть имеется строка, можно считать, вторая, в которой три различных буквы, отличных от букв первой строки. Тогда в каждом столбце кроме букв первой и второй строк может быть не более одной новой буквы, всего не более 3 + 3 + 5 · 1 = 11.
Пример расстановки 11 различных букв: по главной диагонали таблицы из левого нижнего угла в правый верхний записаны первые пять различных букв, по соседней снизу диагонали — следующие четыре, в левом верхнем углу — десятая, а в остальных клетках — одиннадцатая буквы.
Ответ: 11.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верное решение. | 7 |
| Доказана максимальность 11. | 5 |
| Пример для 11. | 2 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев, любой неверный ответ и попытка его доказательства. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |