РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 1901 Добавить в вариант

Олимпиада СПБГУ, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра. Неравенства с буквами, Методы алгебры. Замена переменной, Методы алгебры. Использование геометрических интерпретаций

Даны числа x, y, удовлетворяющие условию $x в степени 4 плюс y в степени 4 меньше или равно 1.$   Докажите неравенство $x в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка минус y в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка плюс 2y в кубе меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Решение. Очевидно, достаточно рассмотреть случай $x больше или равно y больше или равно 0.$ Положим $u=x в кубе ,$ $v=y в кубе$ и рассмотрим пятиугольник ОABCD с вершинами в точках $O= левая круглая скобка 0, 0 правая круглая скобка ,$ $A= левая круглая скобка 1, 0 правая круглая скобка ,$ $B= левая круглая скобка u, v правая круглая скобка ,$ $C= левая круглая скобка v, u правая круглая скобка$ и $D= левая круглая скобка 0, 1 правая круглая скобка$ (см. рисунок). Так как $v меньше или равно u меньше или равно 1$ и

$u в квадрате плюс v в квадрате меньше или равно u в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс v в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс y в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка меньше или равно 1$

пятиугольник содержится в четверти единичного круга с центром в О, лежащей в первом квадранте. Поэтому

$дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби больше или равно 2 S_O A B C D= левая круглая скобка u плюс v правая круглая скобка левая круглая скобка u минус v правая круглая скобка плюс 2 u v плюс 2 v левая круглая скобка 1 минус u правая круглая скобка =u в квадрате минус v в квадрате плюс 2 v=x в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка минус y в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка плюс 2 y в кубе .$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби больше или равно 2 S_O A B C D= левая круглая скобка u плюс v правая круглая скобка левая круглая скобка u минус v правая круглая скобка плюс 2 u v плюс 2 v левая круглая скобка 1 минус u правая круглая скобка =$
$=u в квадрате минус v в квадрате плюс 2 v=x в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка минус y в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка плюс 2 y в кубе .$

Приведем другое решение. Очевидно, достаточно рассмотреть случай $x больше или равно y больше или равно 0.$ Положим $u=x в кубе , v=y в кубе .$ Тогда $v меньше или равно u меньше или равно 1$ и

Отсюда

$u в квадрате минус v в квадрате плюс 2 v меньше или равно 1 плюс 2 v минус 2 v в квадрате меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$

поскольку наибольшее значение трехчлена $1 плюс 2 v минус 2 v в квадрате$ достигается при $v= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Олимпиада: Олимпиада СПБГУ

Класс: 11, 10

Тур: 2 тур (заключительный)

Год: 2016

Ключ