РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 1922 Добавить в вариант

Олимпиада СПБГУ, 8, 9, 6, 7 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Анализ. Функциональные уравнения и неравенства

Дан такой квадратный трехчлен f(x), что уравнение $левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка в кубе минус f левая круглая скобка x правая круглая скобка = 0$ имеет ровно три решения. Найдите ординату вершины трехчлена f(x).

Решение. Предположим, что старший коэффициент трехчлена положителен. Заметим, что

$левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка в кубе минус f левая круглая скобка x правая круглая скобка =f левая круглая скобка x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка .$

Уравнение $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =0$ имеет больше корней, чем уравнение $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 1,$ и меньше корней, чем уравнение $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =1.$ Ясно также, что никакие два уравнения не имеют общих корней. Тогда уравнение $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =0$ имеет ровно один корень. Следовательно, ордината вершины трехчлена f(x) равна нулю. Аналогично разбирается и случай, когда старший коэффициент трехчлена отрицателен.

Ответ: 0.

1922

Олимпиада: Олимпиада СПБГУ

Класс: 8, 9, 6, 7

Тур: 2 тур (заключительный)

Классификатор: Анализ. Функциональные уравнения и неравенства

Год: 2016

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1922	0.