РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 198 Добавить в вариант

Всероссийская олимпиада школьников Высшая проба, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Комбинаторика, вероятность, статистика. Размещения, перестановки и сочетания, Комбинаторика, вероятность, статистика. Комбинаторика и вероятность в геометрии

Гриша нарисовал на плоскости выпуклый 100-угольник и провел все его диагонали, и, о чудо, ни в какой точке кроме вершин 100-угольника не пересеклось больше двух отрезков. Сколькими способами Гриша может обвести маркером часть имеющихся на рисунке линий, чтобы получить треугольник (не обязательно состоящий из целых диагоналей и, быть может, содержащий внутри себя не обведенные линии)?

Решение. Найдём концы диагоналей, обведённые Гришей. Каждая диагональ имеет два конца, но некоторые концы могут совпадать, но не более двух в одной точке. Таким образом, мы получим от 3 до 6 вершин стоугольника. Найдём соответствующее количество треугольников.

Для трёх вершин количество треугольников равно количеству способов выбрать три различные вершины $A_100 в кубе .$

Для четырёх вершин пара соседних является cтороной треугольника

(другие две не совпадают, а лишь их содержат). Таким образом, количество равно $4A_100 в степени 4 .$

Для пяти вершин нужно выбрать пять вершин и среди них одну, которая является вершиной треугольника. Таким образом, количество равно $5A_100 в степени 5 .$

Для шестиугольника способ единственный после выбора шести вершин, то есть $A_100 в степени 6 .$

Итого, в сумме получаем $A_100 в кубе плюс 4A_100 в степени 4 плюс 5A_100 в степени 5 плюс A_100 в степени 6$

Ответ: $A_100 в кубе плюс 4A_100 в степени 4 плюс 5A_100 в степени 5 плюс A_100 в степени 6 .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Приведено полное решение (в т. ч. для n-угольника).	20
Незначительные пробелы в решении (в т. ч. не доказано, что можно сопоставлять треугольники и n-угольники).	15
Серьезные пробелы в доказательстве.	10
Идея о разделении треугольников на 4 типа.	5
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	20

Ответ: $A_100 в кубе плюс 4A_100 в степени 4 плюс 5A_100 в степени 5 плюс A_100 в степени 6 .$

198

$A_100 в кубе плюс 4A_100 в степени 4 плюс 5A_100 в степени 5 плюс A_100 в степени 6 .$

Олимпиада: Всероссийская олимпиада школьников Высшая проба

Класс: 10

Тур: 2 тур (заключительный)

Год: 2019

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	198	$A_100 в кубе плюс 4A_100 в степени 4 плюс 5A_100 в степени 5 плюс A_100 в степени 6 .$