PDF-версии: 
Укажите любой способ расстановки всех натуральных чисел от 1 до 100 включительно в ряд в некотором порядке так, чтобы сумма любых n из них, стоящих подряд, не делилась на n при всех 
Решение. Запишем все числа от 1 до 100 слева направо по порядку: 1, 2, 3, 4, ..., 99, 100, разобьём на 50 пар соседних: 1 и 2, 3 и 4, …, 99 и 100, и в каждой паре числа поменяем местами: 2, 1, 4, 3, ..., 100, 99. Докажем, что полученная перестановка удовлетворяет условию задачи.
а) Заметим, что в полученной перестановке каждое число на нечётном месте на 1 больше номера своего места, а на чётном — на 1 меньше. В частности, отсюда следует, что сумма любых двух соседних чисел в перестановке равна сумме номеров их мест. То же относится и к сумме любого чётного числа идущих подряд чисел из перестановки.
б) Заметим также, что сумма чётного числа последовательных натуральных чисел не делится на их количество, а сумма нечётного числа последовательных натуральных чисел делится на их количество. Действительно, найдём сумму последовательных чисел, первое из которых равно a + 1, получим
Тут первое слагаемое всегда делится на n, а второе, только когда n + 1 чётно.
в) Если из переставленных чисел выбрать чётное число идущих подряд, то в силу замечания а) их сумма равна сумме номеров их мест и не делится на их количество в силу б). Если же из переставленных чисел выбрать нечётное число идущих подряд, то в силу замечания а) несложно заметить, что их сумма на 1 больше или меньше суммы номеров их мест, которая делится на их количество в силу б). Значит, сумма самих чисел не может делится на их количество.
Ответ: 2, 1, 4, 3, ..., 100, 99.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верное решение. | 7 |
| Предъявлен пример с проверкой для какого-то достаточно большого количества, не меньше 10, (но не 100) первых натуральных чисел. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев, решение, содержащие только примеры без проверок для 100 чисел, кроме легко проверяемых. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |