РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 2440 Добавить в вариант

Олимпиада СПБГУ, 8, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур, Методы геометрии. Вспомогательная окружность

На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D, а на отрезке AD выбрана такая точка E, что $\angle CED =\angle ABC.$   Точка M  — середина отрезка BD, а точка H  — основание перпендикуляра, опущенного из точки A на сторону BC. На серединном перпендикуляре к отрезку DE выбрали такую точку K, а на отрезке AH выбрали такую точку L, что DKLM  — параллелограмм. Докажите, что прямые AC и LM перпендикулярны.

Решение. Отметим на прямой BC точку B′, симметричную B относительно H. Тогда треугольник ABB′ равнобедренный и, значит,

$\angle C E D=\angle A B C=\angle A B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка B.$

Следовательно, $\angle A B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка C=\angle A E C$ и четырехугольник ACB′E вписанный. Поэтому $\angle A C H=\angle B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка E D.$ Пусть N  — основание перпендикуляра, опущенного из точки K на BC. Тогда $M D=L K=H N,$ поэтому

$N B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка =H B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус H N=H B минус B M=M H=D N.$

Тогда точка K лежит на серединном перпендикуляре к отрезкам DB′ и DE. Следовательно, это центр окружности описанной вокруг треугольника B′DE. Стало быть,

$\angle A C H=\angle B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка E D= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка K D=\angle N K D=\angle H L M$

(последнее  — поскольку высота NK параллельна высоте HL и прямая KD параллельна LM).

Обозначим точку пересечения прямых AC и LM через X. Тогда

$\angle A X M=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle C A H минус \angle H L M=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle C A H минус \angle A C H=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Олимпиада: Олимпиада СПБГУ

Класс: 8, 9

Тур: 2 тур (заключительный)

Год: 2020

Ключ