РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 2819 Добавить в вариант

Олимпиада Шаг в будущее, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Анализ. Графики функций, уравнений, неравенств

На оси O_y найдите точку M, через которую проходят две касательные к графику функции $y=0,5 левая круглая скобка x минус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате ,$ угол между которыми равен 45°.

Решение. На оси Oy найдём точку M, через которую проходят две касательные к графику функции $y=0,5 умножить на левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате ,$ угол между которыми равен 45°.

Решим без применения производной. Так, $y=0,5 умножить на левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате$ и $M левая круглая скобка 0 ; y_0 правая круглая скобка .$ Уравнение

$0,5 умножить на левая круглая скобка x минус 1 / 2 правая круглая скобка в квадрате =y_0 плюс k x,$

или

$x в квадрате минус 2 левая круглая скобка k плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка x минус 2 y_0 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби =0,$

имеет единственное решение, если:

$дробь: числитель: D, знаменатель: 4 конец дроби =k в квадрате плюс k плюс 2 y_0=0.$

Найденные из этого уравнения два значения k должны удовлетворять условиям:

$k_1 плюс k_2= минус 1, \qquad левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$

$k_1 умножить на k_2=2 y_0. \qquad левая круглая скобка 2 правая круглая скобка$

Из условия

$альфа _2 минус альфа _1=45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$

$тангенс левая круглая скобка альфа _2 минус альфа _1 правая круглая скобка =1$

следует

$дробь: числитель: тангенс альфа _2 минус тангенс альфа _1, знаменатель: 1 плюс тангенс альфа _2 умножить на тангенс альфа _1 конец дроби =1,$

или

$дробь: числитель: k_2 минус k_1, знаменатель: 1 плюс k_2 k_1 конец дроби =1.$

Отсюда:

$k_2 минус k_1=1 плюс k_2 k_1,$

$k_2 минус k_1=1 плюс 2 y_0 \qquad левая круглая скобка 3 правая круглая скобка$

Решая систему:

$система выражений k_2 минус k_1=1 плюс 2 y_0,k_1 плюс k_2= минус 1, конец системы .$

находим

$система выражений k_2=y_0,k_1= минус y_0 минус 1 конец системы .$

$k_1 k_2= минус y_0 в квадрате минус y_0.$

Учитывая (2), получаем условие:

$2 y_0= минус y_0 в квадрате минус y_0,$

или

$y_0 в квадрате плюс 3 y_0=0.$

Возможны два решения:

1)  y₀  =  0, $M левая круглая скобка 0; 0 правая круглая скобка ,$ k₁  =  −1 и k₂  =  0. Уравнения касательных: $y_1= минус x$ и $y_2=0;$

2)  y₀  =  − 3, $M левая круглая скобка 0; минус 3 правая круглая скобка ,$ k₁  =  2 и k₂  =  −3. Уравнения касательных: $y_1=2 x минус 3$ и $y_2= минус 3 x минус 3.$

Ответ: $M левая круглая скобка 0; 0 правая круглая скобка$ или $M левая круглая скобка 0; минус 3 правая круглая скобка .$

2819

$M левая круглая скобка 0; 0 правая круглая скобка$ или $M левая круглая скобка 0; минус 3 правая круглая скобка .$

Олимпиада: Олимпиада Шаг в будущее

Класс: 11

Тур: 2 тур (заключительный)

Классификатор: Анализ. Графики функций, уравнений, неравенств

Год: 2016

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2819	$M левая круглая скобка 0; 0 правая круглая скобка$ или $M левая круглая скобка 0; минус 3 правая круглая скобка .$