PDF-версии: 
На какое максимальное число различных прямоугольников можно разрезать шахматную доску 8 на 8 клеток? Все разрезы должны проходить только по линиям сетки. Прямоугольники различны, если они не равны как геометрические фигуры.
Решение. Выпишем возможные размеры возможных различных целочисленных прямоугольников минимальных площадей, помещающихся по линиям сетки на доску 8 на 8 в порядке возрастания этих площадей: 1 на 1, 1 на 2, 1 на 3, 1 на 4, 2 на 2, 1 на 5, 1 на 6, 2 на 3, 1 на 7, 1 на 8, 2 на 4, 3 на 3, 2 на 5. Прямоугольников уже 13, и сумма их площадей равна 73, что больше площади доски. Значит, больше, чем на 12 прямоугольников, разрезать доску требуемым в задаче образом нельзя.
С другой стороны, сумма площадей их всех, кроме 3 на 3, равна ровно 64 и можно указать пример такого разбиения на все эти 12 прямоугольников, кроме 3 на 3: первые четыре вертикали доски разрежем на полоски ширины 1 и длин 1 и 7, 2 и 6, 3 и 5, и 8 соответственно. Оставшиеся 4 вертикали разобьём на два вертикальных прямоугольника 2 на 7, составленных из прямоугольников 2 на 5 и 2 на 2, и 2 на 4 и 2 на 3. Сверху к ним добавим горизонтальную полоску 1 на 4. Возможны и другие примеры такого разбиения.
Ответ: На 12.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верное решение. | 7 |
| Доказано, что количество прямоугольников разбиения не превосходит 12. | 4 |
| Приведён верный пример для 12 прямоугольников. | 3 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |