PDF-версии: 
Могут ли в некотором остроугольном треугольнике АВС точки пересечения биссектрисы угла А, высоты, проведённой из вершины В и медианы, проведённой из вершины С являться вершинами невырожденного равностороннего треугольника?
Решение. Обозначим точку пересечения биссектрисы угла А и высоты ВК из вершины В за М, высоты из вершины В и медианы из вершины С — за Р, биссектрисы угла А и медианы из вершины С — за Т. Предположим, что все эти точки различны и являются вершинами равностороннего треугольника МРТ. Тогда величина угла АМК равна величине угла РМТ и равна 90 минус величину угла А, откуда величина А равна 60 градусов. Опустим высоту СЕ, она пересечёт ВК в точке О и величина угла ЕОК будет равна 120 градусов, так как четырёхугольник АЕОК — вписанный. Следовательно, угол между прямыми ВК и СЕ равен 60 градусов, но и угол между прямыми ВК и СР по построению тоже равен 60 градусов. Таким образом, прямые СЕ и СР параллельны и проходят через вершину С, следовательно, совпадают, значит, медиана и высота треугольника из вершины С совпадают и он является равнобедренным с ВС = АС. Величина угла А, как мы установили, равна 60 градусов, значит, и остальные углы треугольника АВС тоже по 60 градусов, он является равносторонним и точки Р, М и Т в нём совпадают, что противоречит предположению о нетривиальности треугольника РМТ.
Ответ: Нет.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верное решение, полное рассмотрение только одной (из двух возможных) конфигурации точек Р,М и Т. | 7 |
| Установлено, что величина А равна 60 градусов. | 2 |
| Доказана равнобедренность АВС. | 3 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |