Ре­ше­ние. Сумма любых семи за­пи­сан­ных чисел от­ри­ца­тель­на, а сумма пяти край­них из этой семёрки  — по­ло­жи­тель­на, зна­чит, сумма двух край­них левых и сумма двух край­них пра­вых чисел из этой семёрки  — от­ри­ца­тель­на. По­это­му сумма любых двух со­сед­них чисел, спра­ва или слева от ко­то­рых есть ещё хотя бы пять чисел, от­ри­ца­тель­на.Зна­чит, если пред­по­ло­жить, что вы­пи­са­но боль­ше де­ся­ти чисел, то сумма любых двух со­сед­них чисел от­ри­ца­тель­на.

В каж­дой пятёрке под­ряд иду­щих чисел сумма всех по­ло­жи­тель­на, а сумма двух пар со­сед­них  — от­ри­ца­тель­на, по­это­му край­ние и сред­нее числа каж­дой пятёрки  — по­ло­жи­тель­ны . Если чисел хотя бы де­вять (а тем более один­на­дцать), то каж­дое из них будет край­ним в не­ко­то­рой пятёрке, зна­чит, все вы­пи­сан­ные числа будут по­ло­жи­тель­ны, что про­ти­во­ре­чит усло­вию от­ри­ца­тель­но­сти сумм семёрок. Таким об­ра­зом, вы­пи­сан­ных чисел не боль­ше де­ся­ти.

По­стро­им при­мер для де­ся­ти чисел. Из преды­ду­щих рас­суж­де­ний сле­ду­ет, что числа с но­ме­ра­ми 1, 3, 5, 6, 8, 10 долж­ны быть по­ло­жи­тель­ны, а осталь­ные  — от­ри­ца­тель­ны. До­пу­стим, что все по­ло­жи­тель­ные числа равны x, а все от­ри­ца­тель­ные числа равны −y. Сумма любых пяти под­ряд будет равна а сумма любых семи под­ряд будет равна от­ку­да

Можно взять, на­при­мер тогда ис­ко­мый при­мер будет таким: 5, −7, 5, −7, 5, 5, −7, 5, −7, 5.

Ответ: Де­сять.