РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

В квадрате со стороной 1 отметили 53 точки, из которых четыре являются вершинами квадрата, а остальные (произвольные) 49 точек лежат внутри. Докажите, что найдется треугольник с отмеченными вершинами, имеющий площадь не более 0,01.

Решение. Пусть в квадрате отмечено n точек: 4 вершины квадрата и $n минус 4$ точки внутри $левая круглая скобка n больше 4 правая круглая скобка .$ Докажем по индукции, что квадрат можно разбить на треугольники с отмеченными вершинами, причем число треугольников равно $2 n минус 6.$ К такому выражению нетрудно прийти рассматривая значения $n=5$ и $n=6.$

База индукции очевидна: при $n=5$ имеем 4 треугольника с общей вершиной внутри квадрата.

Пусть для $n= k$ квадрат разбит на $2 k минус 6$ треугольников, и мы добавляем $левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка$ -ую отмеченную точку M. Если она оказалась внутри некоторого треугольника ABC данного разбиения, то мы получим три новых треугольника MAB, MBC, MAC вместо «старого») треугольника ABC.

Таким образом, число треугольников при добавлении новой вершины стало равно

$2 k минус 6 плюс 2=2 левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка минус 6,$

и тем самым индукционный переход доказан.

Если же точка M попала на сторону, скажем, AB треугольника ABC, то AB является общей стороной треугольника ABC и некоторого другого треугольника разбиения  — скажем, треугольника АВD. В этом случае будем иметь 4 новых треугольника AMD, BMD, AMC, BMC вместо двух «старых» треугольников АBC и АBD, и тем самым опять количество треугольников увеличилось на 2. Итак, при $n=53$ получим разбиение квадрата на $2 умножить на 53 минус 6=100$ треугольников с отмеченными вершинами и поэтому в единичном квадрате найдется треугольник площади не более 0,01.

Ключ