PDF-версии: 
Точка O лежит внутри равнобедренного прямоугольного треугольника ABC. Расстояние от нее до вершины A прямого угла равно 6, до вершины B равно 4, до вершины C равно 8. Найти площадь треугольника ABC.
Решение. Рассмотрим поворот вокруг точки A на угол 90°, который переводит точку C в точку B. Пусть при этом повороте точка O переходит в точку D; тогда отрезок BD является образом отрезка CO; поскольку при повороте длина отрезков не меняется,
Получаем четырёхугольник OADB, в котором 
(см. чертёж). Дальше можно рассуждать несколькими способами.
Cпособ I. Рассмотрим систему координат, в которой точка O имеет координаты (0, 0), точка A имеет координаты (6, 0), точка D — координаты (6; −6). Найдём координаты точки 
учитывая, что 
и 
то есть
Вычитая из первого уравнения второе, получаем 
откуда 
Подставляя 
в первое уравнение, получаем
откуда 
Поскольку (см. чертёж) точка B должна лежать по ту же сторону от прямой ОА, что и точка D, то 
поэтому подходит только корень 
откуда 
Наконец,
Cпособ II. Для начала заметим, что 
Обозначим 
Тогда по теореме косинусов для треугольника ОDB имеем
а тогда
Теперь, по теореме косинусов для треугольника ADB, получаем
Ответ: 
Приведем другое решение.
Пусть 
и 
По теореме косинусов для треугольников OAB и OAC имеем:
откуда
Возводя эти неравенства в квадрат, после сложения, получаем квадратное уравнение на x2:
Корнями этого уравнения являются 
Заметим, что 
и в этом случае 
то есть точка O не будет лежать внутри треугольника, поэтому
План третьего решения.
Отразим точку O симметрично относительно сторон AB, AC и BC треугольника ABC; обозначим образы через X, Y и Z соответственно (см. рисунок). Тогда 
Простым счётом углов убеждаемся, что
Площадь пятиугольника XYCZB в два раза больше площади треугольника ABC. другой стороны, площадь XYCZB складывается из площади двух прямоугольных треугольников YCZ и XBZ, в который нам известен катет, а также треугольника XYZ, у которого нам известны все стороны, поэтому его площадь мы можем найти, например, воспользовавшись формулой Герона.
| Критерии оценивания | Балл |
|---|---|
| Верное решение без существенных недочетов | + |
| В целом задача решена, хотя и с недочетами | + − |
| Задача не решена, но есть заметное продвижение | − + |
| Задача не решена, заметных продвижений нет | − |
| Задача не решалась | 0 |