РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 4717 Добавить в вариант

Объединенная межвузовская математическая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Необходимые и достаточные условия, Задачи с параметрами. Уравнения

При каких значениях параметра a уравнение

$2 логарифм по основанию левая круглая скобка 16 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x в квадрате минус x минус 2a минус 4a в квадрате правая круглая скобка минус логарифм по основанию 4 левая круглая скобка x в квадрате минус ax минус 2a в квадрате правая круглая скобка =0$

имеет два различных корня, сумма квадратов которых принадлежит интервалу (0; 4)?

Решение. Перепишем исходное уравнение в виде

$логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x в квадрате минус x минус 2 a минус 4 a в квадрате правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус a x минус 2 a в квадрате правая круглая скобка .$

Заметим, что это уравнение эквивалентно системе

$система выражений 2 x в квадрате минус x минус 2 a минус 4 a в квадрате =x в квадрате минус a x минус 2 a в квадрате , x в квадрате минус a x минус 2 a в квадрате больше 0 конец системы .$

или

$система выражений x в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка x минус 2 a левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка =0, \qquad левая круглая скобка 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 a правая круглая скобка больше 0. \qquad левая круглая скобка 2 правая круглая скобка конец системы .$

По теореме, обратной теореме Виета, корнями уравнения (1) являются числа $x_1= минус 2 a$ и $x_2=a плюс 1.$ Поскольку у уравнения должно быть два различных корня, получаем следующие условия:

$система выражений левая круглая скобка минус 2 a плюс a правая круглая скобка левая круглая скобка минус 2 a минус 2 a правая круглая скобка больше 0, левая круглая скобка a плюс 1 плюс a правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 1 минус 2 a правая круглая скобка больше 0, минус 2 a не равно q a плюс 1, конец системы .$

то есть $a не равно q 0,$ $a не равно q минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ,$ $a принадлежит левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 1 правая круглая скобка .$

Сумма квадратов x₁ и x₂ должна принадлежать интервалу (0; 4), то есть $0 меньше 4 a в квадрате плюс левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка в квадрате меньше 4,$ значит,

$система выражений 5 a в квадрате плюс 2 a плюс 1 больше 0, 5 a в квадрате плюс 2 a минус 3 меньше 0, конец системы .$

откуда $a принадлежит R ,$ $a принадлежит левая круглая скобка минус 1; дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка .$ Пересекая все пять полученных условий, получаем ответ.

Ответ: $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания	Балл
Верное решение без существенных недочетов	+
В целом задача решена, хотя и с недочетами	+ −
Задача не решена, но есть заметное продвижение	− +
Задача не решена, заметных продвижений нет	−
Задача не решалась	0

4717

$левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка .$

Олимпиада: Объединенная межвузовская математическая олимпиада школьников

Класс: 11

Тур: 2 тур (заключительный)

Классификатор: Задачи с параметрами. Необходимые и достаточные условия, Задачи с параметрами. Уравнения

Год: 2019

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	4717	$левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка .$