РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 5354 Добавить в вариант

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Преобразования числовых выражений

Запишите точное значение для $косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 32 конец дроби ,$ не используя обозначений тригонометрических функций.

Решение. Имеем:

$косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: 2 плюс 2 косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец аргумента ,$

$косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 16 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: 2 плюс 2 косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец аргумента конец аргумента ,$

$косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 32 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: 2 плюс 2 косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 16 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец аргумента конец аргумента конец аргумента .$

Кстати, отсюда, используя непрерывность функции косинус, можно получить, что последовательность

$x_n= корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 плюс \ldots плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец аргумента конец аргумента$ (n квадратных корней)

стремится к 2.

Ответ: $косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 32 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец аргумента конец аргумента конец аргумента .$

5354

$косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 32 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец аргумента конец аргумента конец аргумента .$

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Преобразования числовых выражений

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	5354	$косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 32 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец аргумента конец аргумента конец аргумента .$