PDF-версии: 
Докажите, что при всяком натуральном n верны неравенства
Решение. Поскольку
Попытка доказать второе неравенство по индукции к успеху не приведет (и иногда в таких случаях школьники говорят, что неравенство неверно). Кажется парадоксальным, что гораздо проще доказать более сильное неравенство:
Действительно, если обозначить сумму стоящую в левой части за 
то легко получить следующее рекуррентное соотношение: 
откуда 
после чего неравенство доказывается без труда.
Классификатор: Алгебра. Рекуррентные соотношения