PDF-версии: 
В выпуклом четырёхугольнике ABCD равны радиусы окружностей, вписанных во все треугольники ABC, BCD, CDA и DAB. Доказать, что диагонали АС и BD этого четырёхугольника равны.
Решение. Обозначим через r радиус окружностей, вписанных в треугольники ABC, BCD, CDA и DAB, и подсчитаем площадь S четырёхугольника двумя способами, первым — как сумму площадей треугольников ABC и CDA, и вторым — как сумму площадей треугольников BCD и DAB. В первом случае
Во втором случае
Из равенства крайних выражений в обоих случаях получаем AC = BD, что и требовалось доказать.
Не доказано, что точка D является точкой пересечения диагоналей достроенного параллелограмма: 3 балла.