РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

На отрезке АВ отмечена произвольная точка М, отличная от А и В. С одной стороны от прямой АВ выбрана точка С, а с другой  — точки D и E такие, что треугольники АВС, АМD и МВЕ являются равносторонними. Обозначим через P, Q, R точки пересечения медиан треугольников АВС, АМD и МВЕ соответственно. Доказать, что: а) треугольник PQR  — равносторонний, б) точка пересечения медиан треугольника PQR лежит на отрезке АВ.

Решение. а)  Обозначим за T точку пересечения прямых AQ и BR. Четырёхугольник APBT является ромбом с углами 60° и 120° при вершинах А и Р, треугольники АРТ и ВРТ равносторонние. Заметим, что $A P= дробь: числитель: A B, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби ,$ $A Q= дробь: числитель: A M, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби ,$ $B R= дробь: числитель: B M, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби$ и $A M плюс B M=A B,$ поэтому $A P=A Q плюс B R=A T=B T.$ Следовательно, QT  =  BR, PT  =  PB и треугольники QTP и RBP равны по углам $Q T P=R B P=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ и парам прилегающих к ним сторон. Кроме того, угол между соответственными сторонами PT и PB тоже равен 60°, значит, треугольник QTP получается из треугольника RBP поворотом относительно вершины Р на 60° по часовой стрелке. Следовательно, стороны QP и RP треугольника PQR равны и угол QPR между ними составляет 60°, значит, оставшиеся два угла также равны 60°, треугольник PQR  — равносторонний.

б)  Заметим, что углы PQR и PTR равны 60°, поэтому точка Q лежит на описанной окружности треугольника PTR. Следовательно, описанные окружности треугольников PTR и PQR совпадают. Обозначим точку пересечения медиан треугольника PQR за S, она является и центром описанной окружности этого треугольника, совпадающей с описанной окружностью треугольника PTR. Значит, точка S лежит на серединном перпендикуляре AB к хорде РТ данной окружности, что и требовалось доказать.

Ключ