PDF-версии: 
График кубического многочлена 
высекает на прямой, параллельной оси абсцисс, два отрезка длины 1, а на прямой, параллельной прямой y = x, два отрезка, длина одного из которых равна 
Чему может быть равна длина второго?
(А. Голованов, Ф. Петров)
Решение. Очевидно, в условии задачи речь идет о двух отрезках длины 1, имеющих одну общую точку, скажем 
Сдвинем график многочлена по горизонтали на u и по вертикали на v — эти действия соответствуют замене переменных 
и изменению функции на константу 
В результате единичные отрезки окажутся расположенными на оси OX, их общая точка станет началом координат, а поскольку при выполнении сдвигов старший коэффициент многочлена не изменился, мы получим график многочлена 
При сдвиге прямая 
перешла в параллельную прямую, пусть она задается уравнением 
По условию график многочлена пересекает Эту прямую в трех точках. Длина одного из отрезков равна 
это значит, что x-координаты концов отрезка отличаются на 1, пусть эти координаты равны p и 
и пусть 
— координата третьей точки пересечения. Тогда числа 
и q суть корни уравнения
Преобразовав это уравнение к виду 
находим, что по теореме Виета
Из этих уравнений легко можно найти p и q: выразим q из первого уравнения и подставим во второе. Мы получим квадратное уравнение 
из которого найдем 
Таким образом, получаем две тройки чисел (расположим их по возрастанию).
Первая из них —
здесь длина проекции искомого отрезка равна 
Вторая тройка чисел симметрична первой
и дает такой же ответ. Осталось найденную длину проекции умножить на 
Ответ: длина второго отрезка равна 