Ре­ше­ние. Обо­зна­чим точку ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­ной LM через T. По­сколь­ку LP  =  LT и LK  =  LM, то PTKM. Зна­чит, Q лежит на от­рез­ке TM (если бы Q ле­жа­ла на LT, то R ле­жа­ла бы на LM). Про­ведём из точки Q вто­рую ка­са­тель­ную к окруж­но­сти, она пе­ре­сечёт сто­ро­ну MN в некой точке S. До­ка­жем, что (тогда по­лу­чит­ся, что S сов­па­да­ет с R, то есть QR  — ка­са­тель­ная к окруж­но­сти).

Рас­смот­рим внев­пи­сан­ную окруж­ность тре­уголь­ни­ка QSM (см. рис.). Пусть A  — точка ка­са­ния с про­дол­же­ни­ем NM; Q  — центр го­мо­те­тии окруж­но­стей, по­сколь­ку это точка пе­ре­се­че­ния общих ка­са­тель­ных; зна­чит, Q ∈ AP.

До­ка­жем, что SA  =  KP (тогда по­лу­чим, что KPAS  — па­рал­ле­ло­грамм). Дей­стви­тель­но, KP  =  BM по свой­ствам ромба (эти от­рез­ки сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но его цен­тра), а BS  =  MA по свой­ствам впи­сан­ных окруж­но­стей (см. рис.: от­рез­ки ка­са­тель­ных к одной окруж­но­сти из одной точки равны, по­это­му скла­ды­вая эти ра­вен­ства, по­лу­ча­ем ).