РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 8313 Добавить в вариант

Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2022 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур, Методы геометрии. Вспомогательная окружность, Методы геометрии. Свойства центроида, инцентра, ортоцентра

Два прямоугольника ABCD и AEFG имеют общую вершину A и расположены на плоскости так, что точки B, E, D и G лежат на одной прямой (в указанном порядке). Пусть прямые BC и GF пересекаются в точке T, а прямые CD и EF  — в точке H. Докажите, что точки A, H и T лежат на одной прямой.

Решение. Пусть прямые CD и FG пересекаются в точке M, а прямые BC и EF  — в точке N. Четырехугольники DHEA и FHCT вписанные (у каждого из них два противоположных угла равны 90°), следовательно,

$\angle F T C=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle F H C=\angle D A E$

и $\angle D A H=\angle D E H.$ Так как

$\angle D M G=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle F T C=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle D A E=\angle D A G,$

то четырехугольник ADGM также вписанный. Поэтому $\angle D A M=\angle F G E,$ значит,

$\angle M A H=\angle D A M плюс \angle D A H=\angle F G E плюс \angle D E H=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Аналогично, $\angle N A H=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ следовательно, точки M, A и N лежат на одной прямой. Тогда H  — ортоцентр треугольника TMN, а точки T, H и A лежат на его высоте.

Критерии проверки:

Содержание критерия	Оценка	Баллы
Задача решена полностью	+	12
Решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые обоснования	±	8
Решение содержит значительное продвижение в верном направлении	+/2	6
Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении	∓	2
Задача не решена, содержательных продвижений нет	−	0
Задача не решалась	0	0

Олимпиада: Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!

Класс: 10

Тур: 2 тур (заключительный)

Год: 2022

Ключ