Параллелограмм ABCD разделён диагональю BD на два равных треугольника. В треугольник ABD вписан правильный шестиугольник так, что две его соседние стороны лежат на AB и AD, а одна из вершин — на BD. В треугольник CBD вписан правильный шестиугольник так, что две его соседние вершины лежат на CB и CD, а одна из сторон — на BD. Какой из шестиугольников больше?
Решение. 
Параллелограмм разделён на два данных шестиугольника, четыре невыпуклых четырёхугольника, которые мы обозначили на рисунке цифрами 1, 2, 3, 4, и треугольник, примыкающий к вершине C. Заметим, что четырёхугольники 1 и 4 подобны — они получаются вырезанием из двух подобных прямоугольных треугольников равнобедренных треугольников с углом 120° при вершине. Аналогично, подобны четырёхугольники 2 и 3. Заметим, что коэффициенты подобия равны отношению сторон данных шестиугольников. Но площади половинок параллелограмма ABD и CBD равны, причём половинка ABD состоит из первого шестиугольника и четырёхугольников 1 и 2, а вторая — из второго шестиугольника, четырёхугольников 3 и 4 и ещё белого треугольника. Значит, сторона шестиугольника, примыкающего к вершине A, больше.
Ответ: тот, который примыкает к вершине A.
Приведем другое решение.
Диагональ красного шестиугольника совпадает с биссектрисой треугольника ABD, которая равна биссектрисе CK треугольника BCD. Пусть синий шестиугольник — это PQRSTU, как на рисунке. Требуется сравнить диагонали CK и PS правильных шестиугольников. Они пересекаются в центре O шестиугольника, так как четырёхугольник PCQO вписанный, CK биссектриса и поэтому делит дугу POQ пополам, то есть проходит через O.
Заметим, что прямая CO пересекает отрезок PQ, поэтому (из симметрии относительно O) она пересекает и отрезок TS. Углы PCK и PSK равны по 60°. Далее есть несколько способов.
Первый способ. Треугольники PCO и KSO подобны по двум углам. Пусть 
тогда 
В треугольнике PCO: 
значит, 
и поэтому 
Получаем 
их разность
Второй способ. Заметим, что точки P, C, S, K лежат на одной окружности. Требуется сравнить её хорды CK и PS — диагонали правильных шестиугольников. Чтобы сравнить хорды, достаточно сравнить величины меньших дуг, которые они стягивают. Не умаляя общности, 
тогда угол CKS не острый, и равный ему угол CPS — тоже не острый. Тогда тупыми будут углы PKS и CPK, откуда дуги PKS и CPK меньше полуокружности, их нам и надо сравнить. Общую часть этих дуг можно выбросить и сравнить дуги CP и KS, а для этого достаточно сравнить хорды CP и KS. Пусть X — точка пересечения PQ и C K. Тогда 
(в силу симметрии относительно O ). Заметим, что 
(так как угол B параллелограмма равен 60°), 
откуда 
Значит, 
так как в треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Третий способ. Из той же окружности получаем, что
(равенства нет, потому что 
).
Критерии проверки:| Критерий | Оценка |
|---|
| Только верный ответ | − |
| Доказаны подобия четырехугольников из первого решения, далее нет продвижений | − / + |
Ответ: тот, который примыкает к вершине A.
8615
тот, который примыкает к вершине A.
PDF-версии: 