PDF-версии: 
Пусть 
а) Решите уравнение 
б) Найдите множество значений отношения 
в) Определите число решений уравнения 
на отрезке 
Решение. а) Преобразуем уравнение
Значит либо 
или 
при 
отсюда 
Либо
Обозначив 
получим 
или 
получим 
или 
откуда
Первый из этих наборов включен в ответы и так — все его элементы получаются по формуле
б)Воспользуемся формулой из пункта б)
Обозначив получим
Поскольку t принимает все значения из отрезка 
нам нужно определить множество значений функции 
при 
кроме 
(поскольку при этих t имеем 
и 
не определено.
Функция 
—
причем 
а наибольшее — при 
или 
Тогда 
и 
поэтому область значений на отрезке [−1; 1] будет 
а на интервале [−1; 1] 
в) Возможны два случая.
Если 
(то есть 
других подходящих точек на этом интервале нет), то 
и уравнение выполнено при любом a. Если же 
то можно поделить обе части уравнения на 
и получить уравнение 
где 
При 
получаем 
и 
причем каждому такому t соответствует ровно одно x из данного в задаче промежутка.
Очевидно функция возрастает на 
и принимает по одному разу все значения из полуинтервала 
Итак, ответ будет таким — при 
уравнение имеет два корня, а при прочих a — один корень (напомним, что 
является корнем всегда).
Ответ:
а) 
б) 
в) одно решение при 
и 
два — при 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а)
б)
в) одно решение при и два — при
а)
б)
в) одно решение при и два — при