PDF-версии: 
а) Решите уравнение 
б) Найдите множество всех точек плоскости, являющихся серединами отрезков, концы которых лежат на 
в) Найдите все такие a, при которых функция 
нечетная.
г) Найдите все такие b, что при любом a уравнение 
имеет решение.
Решение. а) Перепишем уравнение в виде 
и преобразуем при условии 
Ответ: 
б) Точка с координатами 
является серединой отрезка, концы которого лежат на кривой 
тогда и только тогда, когда найдутся такие числа a и b, что
Исключая очевидное решение 
приходим к уравнению 
которое разрешимо при 
Пункт 1б) не обнаружен в файле. Решения нет.
Ответ: на рисунке.
в) При 
получаем 
Но если нечетная функция 
определена при 
то 
поэтому либо 
либо 
Итак, остается проверить 
и 
При получим
что определено при 
и не определено при 
поэтому функция не будет нечетной.
При 
получим
и
Докажем, что 
при всех x. Решим
что верно. Осталось еще объяснить, что и 
определены при одних и тех же x. Ясно, что при всех 
а при 
Поскольку произведение этих выражений всегда положительно, то на самом деле оба они всегда одного знака, то есть оба положительны. Значит, логарифмы определены.
Ответ: 
г) Изобразим график 
(см. рис.). Прямые 
проходят через точку 
на оси ординат. Поэтому вопрос сводится к такому — какие точки на оси ординат обладают таким свойством — любая невертикальная прямая, проведенная через них, пересекает график 
Очевидно при 
можно провести горизонтальную прямую и она не пересечет график, при 
точка 
лежит на графике, а при 
прямые с неотрицательным k пересекают график во второй четверти, а с отрицательным k — в первой четверти (возможно есть и второе пересечение, но это неважно).
Ответ: 
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
на рисунке.
на рисунке.