PDF-версии: 
Дан равнобедренный треугольник с углом 
при вершине.
а) Докажите, что
где r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно.
б) При каком отношение 
принимает наибольшее значение?
в) Докажите, что в общем случае отношение принимает наибольшее значение для равносторонних треугольников.
Решение. а) Пусть a — длина основания данного треугольника (см. рис.). По теореме синусов
далее,
поэтому 
б) Исследуя найденную в предыдущем пункте функцию f, получим, что она принимает наибольшее значение при 
в) Имеем: 
здесь 
— периметр треугольника, так что
Далее,
причем равенство имеет место лишь в случае, когда 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |