PDF-версии: 
Положим 
а) Найдите такие числа A и B, что для всех линейных функций f верно, что 
б) Существуют ли такие числа A, B, C, что для всех квадратичных функций f верно равенство
в) Найдите формулу, выражающую объем шарового сегмента через его высоту h и радиус R шара.
Решение. а) Имеем:
где 
Поэтому значения 
удовлетворяют условию, однако проведенное рассуждение не дает ответа на вопрос, существуют ли другие такие пары A, B (см. следующий пункт).
Ответ: 
б) Для того чтобы тождество имело место для всех квадратных функций f, необходимо, а в действительности и достаточно (почему?), чтобы оно выполнялось для 
и
откуда и получаем систему
и
Так как 
то, подставляя во второе уравнение, получаем, что 
значит, 
и 
Из последнего уравнения следует, что 
Ответ: да, существуют, где 
и 
в) Искомый объем равен интегралу от площади поперечного сечения, то есть интегралу
Ответ: 
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
да, существуют, где и да, существуют, где и