PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
имеет ровно два целых решения.
Решение. Обозначим 
Тогда исходное уравнение будет иметь вид 
Решениями последнего уравнения являются все u и v такие, что 
или 
и 
Отсюда имеем 
В системе Oxa построим графики функций 
и 
Правый луч угла лежит на прямой 
левый луч угла лежит на прямой 
Найдем точки пересечения параболы с этими прямыми: 
x = 1, a = 1; 
x = −2, a = 4.
При a = 0 имеем два решения x = −1, x = 0. При a = 1 имеем два решения x = −1, x = 1. При a = 4 имеем два решения x = −2, x = 2. При 
имеем два решения x = 3, x = 4. При 
имеем два решения x = 4, x = 5. При остальных 
ровно двух решений не будет. Если 
то уравнение будет иметь не менее трех целых положительных решений. Решим это неравенство:
Если 
то рассматриваемое неравенство выполняется.
Ответ: 
| Критерии | Баллы |
|---|---|
| Не выполнен ни один пункт, приведенный ниже, и/или просто записан верный ответ | 0 |
| Уравнение сведено к системе неравенств | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a | 8 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек, и/или нет полного обоснования, что полученное множество значений является окончательным | 12 |
| Приведено полностью обоснованное решение, получены верные ответы | 16 |