PDF-версии: 
Сечение правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF образовано плоскостью, проходящей через центр основания ABCDEF и параллельной медиане CM боковой грани SCD и апофеме SN боковой грани SAF, сторона основания пирамиды равна 8, а расстояние от вершины S до секущей плоскости равно 
Найдите косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью основания.
Решение. В плоскости SNU (SU — апофема грани SCD) через точку O проведем прямую OY, параллельную SN,
OY — средняя линия треугольника SNU.
В плоскости SCD через точку Y проведем прямую KL, параллельную CM, 
Медианы SU и CM треугольника SCD в точке пересечения W делятся в отношении 2:1, то есть 
Имеем 
Согласно теореме Фалеса, приходим к соотношениям 
Точка V — точка пересечения прямой KL и CD, 
В плоскости основания проведем прямую VO, точки R и T — точки пересечения со сторонами BC и FE соответственно. Треугольники RCV и ODV подобны, 
и Обозначим сторону основания a, тогда 
и 
Пусть φ — угол между плоскостью сечения и плоскостью основания. Обозначим расстояние от точки S до плоскости сечения d, 
Расстояние от точки C до сечения равно 
В треугольнике RCV проведем высоту CG, обозначим ее длину h. Тогда 
и 
Найдем RV по теореме косинусов:
Используя различные формулы для нахождения площади треугольника RCV, имеем
Тогда
Ответ: 
| Критерии | Баллы |
|---|---|
| Не выполнен ни один пункт, приведенный ниже, и/или просто записан верный ответ | 0 |
| Верно построено сечение с полным описанием построения | 5 |
| Найдены необходимые для решения задачи отношения, в которых плоскость сечения делит ребра пирамиды. Установлена связь расстояния от вершины пирамиды до плоскости сечения с углом между плоскостью сечения и плоскостью основания пирамиды | 10 |
| При верных рассуждениях допущена одна вычислительная ошибка | 15 |
| Приведено полностью обоснованное решение, получены верные ответы | 20 |