Ре­ше­ние. a) Решим за­да­чу двумя спо­со­ба­ми.

Ⅰ  спо­соб. Ясно, что Ясно также, что если имеет место раз­ло­же­ние то и Пре­об­ра­зо­ва­ние

по­ка­зы­ва­ет, что мно­го­член p₃(x) дей­стви­тель­но де­лит­ся на q(x), а част­ное равно Те­перь уже не­труд­но до­га­дать­ся, что

и затем про­ве­рить это тож­де­ство, на­при­мер по ин­дук­ции.

Ⅱ  спо­соб.. Трех­член q(x) имеет ком­плекс­ные корни Мно­го­член p_n(x) де­лит­ся на q(x), если числа z_1, 2 яв­ля­ют­ся также и его кор­ня­ми. Пре­об­ра­зо­ва­ние:

по­ка­зы­ва­ет, что это дей­стви­тель­но так. Обо­зна­чим тогда

в чем можно убе­дить­ся, рас­крыв скоб­ки (на самом деле вто­рой мно­жи­тель под­би­рал­ся так  — ясно, что он тоже вто­рой сте­пе­ни и на­чи­на­ет­ся с чтобы дать а его сво­бод­ный член равен чтобы схо­дил­ся сво­бод­ный член про­из­ве­де­ния. На­ко­нец сред­ний ко­эф­фи­ци­ент про­ти­во­по­ло­жен к чтобы ко­эф­фи­ци­ент при ока­зал­ся бы нулем).

б)  Ве­ро­ят­но в усло­вии опе­чат­ка, нужно про

Дис­кри­ми­нант равен при всех По­это­му ве­ще­ствен­ных кор­ней это урав­не­ние не имеет

в)  До­ка­жи­те, что при всех на­ту­раль­ных мно­го­член де­лит­ся на

Раз­бе­рем сразу слу­чай Тогда нужно до­ка­зать, что мно­го­член де­лит­ся на какой-то квад­рат­ный трех­член, что оче­вид­но. В осталь­ных слу­ча­ях Най­дем ком­плекс­ные корни Это будут

Обо­зна­чим тогда

Убе­дим­ся, что эти числа яв­ля­ют­ся кор­ня­ми мно­го­чле­на   — этого до­ста­точ­но, чтобы утвер­ждать, что де­лит­ся на Более того, по­сколь­ку имеет ве­ще­ствен­ные ко­эф­фи­ци­ен­ты, до­ста­точ­но про­ве­рить, что его кор­нем будет z - тогда тоже будет кор­нем. Под­став­ляя по­лу­чим

Утвер­жде­ние до­ка­за­но.