PDF-версии: 
а) Постройте эскиз графика функции 
б) Изобразите на плоскости множество точек 
для которых при всех x верно неравенство
в) Найдите наибольший радиус круга, лежащего в верхней полуплоскости, касающегося оси абсцисс в начале координат и не имеющего других общих точек с параболой 
г) Докажите, что 
при всех натуральных n.
Решение. а) Ясно, что функция 
определена только при 
и при условии 
то есть 
При таких x преобразуем функцию
Обозначим временно 
и решим неравенство 
Метод интервалов дает ответ 
то есть 
Если бы мы строили график 
то он был бы гиперболой с вертикальной асимптотой 
и горизонтальной
Поскольку —
эскиз графика 
(несколько подходящих точек поставлены точно) и результат отражения нижней части графика для получения итогового ответа 
Ответ: см. рис.
б) Перепишем неравенство в виде
Ясно, что 
принимает все значения от −1 до 1 включительно. Тогда наименьшее значение левой части равно 
а знак можно выбрать так, чтобы результат был отрицательным. Итак, требуется чтобы 
И наоборот, выполнения этого неравенства достаточно, чтобы условие
выполнялось всегда. Построим график 
и отметим все точки ниже этого графика.
Ответ: 
(см. рис.).
в) Обозначим центр этого круга за 
—
или 
Эта окружность не должна иметь общих точек с графиком 
кроме точки 
и этого достаточно — ведь тогда весь круг будет лежать внутри параболы. Попробуем найти их общие точки. Подставим в уравнение окружности 
или 
Значит либо 
(это разрешается), либо 
Это уравнение не имеет корней при 
имеет корень при 
и имеет другие корни при 
Поэтому максимальный радиус круга равен 
Ответ:
г) Пусть 
Если 
то 
а при
Осталось заметить, что
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
(см. рис.). (см. рис.).