PDF-версии: 
а) Решите неравенство 
б) Решите неравенство 
в) Докажите, что не существует прямых, касающихся графика функции 
в двух разных точках.
Решение. а)Преобразуем неравенство
Поскольку знак выражения 
совпадает со знаком выражения 
можно записать неравенство в виде
Первый множитель положителен при 
отрицателен при 
и равен нулю при 
Второй множитель, 
представляет собой убывающую функцию (
убывает, x возрастает, равную нулю при 
поэтому он положителен при 
и отрицателен при 
а при 
он не определен. Нужно, чтобы множители имели одинаковый знак, поэтому ответом будет 
Ответ:
б) Обозначим 
тогда
Поскольку 
тогда 
Поделим на него 
получим 
или 
В первое неравенство годятся только x, при которых 
то есть 
Неравенство 
имеет решения
при 
Окончательно 
Ответ: 
в) Если бы такая прямая существовала, то ее угловой коэффициент был бы равен значению производной функции 
в двух различных точках. Поскольку
квадратный трехчлен, его значения одинаковы в точках, симметричных относительно 
Допустим это точки 
причем 
Тогда уравнения касательных будут
и, аналогично, 
Тогда получим
Поскольку 
можно разделить на 
тогда
Значит 
и 
должны быть корнями уравнения
Но это уравнение можно записать в виде 
поэтому у него нет двух различных корней. Кубический многочлен не может делиться 
—
Теорема. Пусть 
— многочлен и 
Тогда делится на 
Действительно, так как 
то 
где 
— многочлен. Продифференцировав это равенство, получаем 
откуда 
значит, 
и 
Следствие. Если прямая, заданная уравнением 
касается графика многочлена в точке 
то разность 
делится на
Докажем теперь, что график многочлена четвертой степени имеет не более одной прямой, касающейся его в двух различных точках. Если прямая 
(
— линейная функция) касается графика 
в точках с абсциссами 
и 
то разность 
делится на 
значит,
где 
— квадратный трехчлен. Пусть 
— еще одна двойная касательная. Тогда 
откуда
Если 
то такое равенство невозможно, поскольку в его правой части находится многочлен по крайней мере второй степени.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |