PDF-версии: 
а) Найдите число различных буквенных сочетаний, которые можно образовать, переставляя буквы в слове «аллах».
б) Докажите тождество
в) Имеются две монеты, одна из которых фальшивая: на обеих ее сторонах изображен герб. Случайным образом выбрали одну монету. Какова вероятность того, что монета фальшивая, если она лежит гербом вверх?
Решение. а) Если переставлять буквы в слове «АЛлах», то будет 
перестановок. Если теперь заменить большие буквы на маленькие, получится один из вариантов перестановок для слова «аллах», при этом каждый вариант получится по 4 раза (есть два варианта, какая из букв "`а"' была большой, а в каждом из них - два варианта, какая из букв «л» была большой). Поэтому ответ 
30.
б) Заметим, что
Значит,
в) Из трех возможных вариантов: правильная монета лежит гербом вверх, фальшивая монета лежит вверх одной или же другой стороной — нам подходят два последних. Возможны три события, дающие данный исход — фальшивая лежит первой стороной вверх, фальшивая лежит второй стороной вверх или настоящая лежит вверх гербом. В двух из этих вариантов монета оказывается фальшивой, поэтому ответ 
Ответ:
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |