PDF-версии: 
а) Сколько решений в зависимости от a имеет уравнение
б) Докажите, что при любом натуральном n число 
делится на 
в) Докажите неравенство
где в числителе дроби 1994 квадратных корня, в знаменателе — 1993.
Решение. а) Действительно, функция 
убывает на луче 
возрастает на 
и
при любом 
Ответ: два решения при 
бесконечно много при 
и ни одного при 
б) Имеем:
поскольку единица является его корнем.Заметим, что данный многочлен имеет вид 
где 
и вообще утверждение задачи имеет следующее обобщение: если 
— многочлен, то 
делится на 
в) Положим 
(1993 квадратных корней). Далее,
поэтому исходное неравенство равносильно 
или 
что верно. Полезно также отметить, что данная дробь равна
что, очевидно, больше 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
бесконечно много при и ни одного при бесконечно много при и ни одного при