PDF-версии: 
а) У Танъ-Янны имеются чашечные весы и набор разновесок в 
амма (по одной каждого веса). Докажите, что ей не удастся разложить их по чашкам весов так, чтобы весы были в равновесии.
б) Вычислите интеграл 
в) Палку случайным образом сломали в двух местах. Найдите вероятность того, что длина каждого из кусков не превосходит половины ее длины.
Решение. а) Очевидно, что число аммов на одной чашке будет делиться на три, а на другой — не будет.
б) Если воспользоваться формулой для произведения двух косинусов, то произведение 
можно представить в виде суммы членов вида 
Поскольку в рассматриваемом случае ни один из коэффициентов при x не равен нулю (и является целым числом), то интеграл от каждого такого слагаемого равен нулю.
Ответ: 0.
в) Мы вправе считать, что длина палки равна единице. Пусть x и y — координаты изломов, 
Тогда условия на длины кусков определяют неравенства 
и 
Искомая вероятность равна отношению площади треугольника с вершинами в точках с координатами 
и треугольника, определяемого системой из трех указанных неравенств (см. рисунок).
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |