Ре­ше­ние. До­ста­точ­но рас­смот­реть тогда сумма цифр равна 1  — ми­ни­маль­но воз­мож­ная.

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Если бы пер­вый ост­ро­ви­тя­нин был ры­ца­рем, то своим от­ве­том он бы со­лгал, чего не может быть. Сле­до­ва­тель­но, пер­вый  — лжец и всего ры­ца­рей на ост­ро­ве не боль­ше 19. Зна­чит, два­дца­тый ост­ро­ви­тя­нин своим от­ве­том ска­зал прав­ду, по­это­му он ры­царь, в част­но­сти, на ост­ро­ве не мень­ше од­но­го ры­ца­ря. Тогда, если бы вто­рой ост­ро­ви­тя­нин ока­зал­ся ры­ца­рем, их вме­сте с два­дца­тым было бы уже два, и он бы со­лгал, зна­чит, вто­рой  — лжец и всего ры­ца­рей не боль­ше 18. По­это­му де­вят­на­дца­тый ска­зал прав­ду и он  — ры­царь. Про­дви­га­ясь так даль­ше, не­слож­но убе­дить­ся, что все ост­ро­ви­тя­не с пер­во­го по де­ся­то­го  — лжецы, а все с 11-ого по 20-ого  — ры­ца­ри.

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем:

Ответ: 7.

Ре­ше­ние. Пусть Т  — се­ре­ди­на от­рез­ка ВМ, длины от­рез­ков ВТ, ТМ и МС равны. По тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Фа­ле­са, пря­мые АМ и КТ па­рал­лель­ны, по­это­му углы КАМ и ВКТ. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВС точка К  — се­ре­ди­на ги­по­те­ну­зы АВ, по­это­му углы КСВ и КВС. Тре­уголь­ни­ки ВКТ и МКС равны по двум углам и двум парам рав­ных со­от­вет­ству­ю­щих сто­рон и Сле­до­ва­тель­но, Зна­чит, угол между хор­дой КР и пря­мой КМ, рав­ный углу МКС, равен впи­сан­но­му углу КАР, опи­ра­ю­ще­му­ся на хорду КР, по­это­му КМ  — ка­са­тель­ная к опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка АКР в точке К.

Ре­ше­ние. 1.  Сна­ча­ла вы­яс­ним, как могли сыг­рать три ко­ман­ды между собой с со­блю­де­ни­ем усло­вий за­да­чи. Если внут­ри трой­ки не было ни­чьих, един­ствен­ным под­хо­дя­щим ва­ри­ан­том будет (Т1), когда каж­дая про­иг­ра­ла и вы­иг­ра­ла по од­но­му матчу, у всех по 3 очка. Если ничья была ровно одна, то сде­лав­шие её ко­ман­ды либо обе вы­иг­ра­ли у тре­тьей (Т2: 4,4 и 0 очков), либо обе про­иг­ра­ли тре­тьей (Т3: 1,1 и 6 очков). Слу­чай ровно с двумя ни­чьи­ми не­воз­мо­жен. Под­хо­дит и ва­ри­ант с тремя ни­чьи­ми (Т4): все на­би­ра­ют по 2 очка.

2.  Из пунк­та 1 сле­ду­ет, что: а) Если две А и Б ко­ман­ды сыг­ра­ли между собой вни­чью, то ре­зуль­та­ты мат­чей любой дру­гой ко­ман­ды с А и с Б оди­на­ко­вы. б) Если ко­ман­да сыг­ра­ла с ко­ман­да­ми А и Б с оди­на­ко­вым ре­зуль­та­том, то А и Б сыг­ра­ли между собой вни­чью.

3.  До­ка­жем, что в тур­ни­ре была хотя бы одна ничья. В про­тив­ном слу­чае, всего имеем 45 побед во всех мат­чах, зна­чит, найдётся ко­ман­да А, вы­иг­рав­шая не мень­ше 5 мат­чей. Рас­смот­рим ко­ман­ды Б и В, про­иг­рав­шие А, оче­вид­но, что трой­ка А, Б, В не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи.

4.  Обо­зна­чим какие-ни­будь ко­ман­ды, сыг­рав­шие между собой вни­чью, за А и Б. В первую под­груп­пу вклю­чим все ко­ман­ды, сыг­рав­шие с А и Б вни­чью, во вто­рую все ко­ман­ды, вы­иг­рав­шие у А и Б, в тре­тью  — все ко­ман­ды, про­иг­рав­шие А и Б. Из пунк­та 2.б) сле­ду­ет, что в пре­де­лах каж­дой под­груп­пы все ко­ман­ды сыг­ра­ли между собой вни­чью.