а) Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты 
которых удовлетворяют неравенству
б) Решите уравнение 
в) Покажите, не прибегая к помощи микрокалькулятора, что
г) В трапеции ABCD известны длины двух сторон: AB = 15 см, AD = 5 см. Найдите длины двух других сторон этой трапеции, если одна из диагоналей делит ее на два треугольника равной площади.
Решение. a) Имеем: 
Полученное уравнение задает объединение осей координат и прямой 
разбивающих плоскость на семь областей, каждая из которых или целиком входит в решение неравенства, или нет (см. решение задачи 1 в разделе Логика, геометрия и анализ в алгебраических задачах).
Ответ: см. рис.
б) Перепишем уравнение в виде
(при условии 
). Обозначим 
тогда
Если 
то 
или 
Уравнение 
не имеет корней, поскольку 
Ответ: 
или 
в) Умножив на 4, получим неравенства 
которые верны, поскольку
г) Поскольку высоты треугольников (см. рис.), опущенные на параллельные стороны трапеции, равны, то из равенства площадей треугольников следует равенство их оснований, значит, ABCD — параллелограмм, поэтому
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
или или Дана функция 
а) Решите уравнение 
б) Решите неравенство 
в) Исследуйте, сколько корней, в зависимости от действительного параметра a, имеет уравнение 
Решение. Нарисуем график функции f. Поскольку уравнение 
задает на плоскости окружность 
а 
и f — четная функция, то график f состоит из двух полуокружностей, как это изображено на рисунке. Теперь ответы на вопросы очевидны.
Ответ: а) 
б) 
в) Три решения при 
четыре — при 
и два, если 
В остальных случаях решений нет.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) в) Три решения при четыре — при и два, если В остальных случаях решений нет. б) в) Три решения при четыре — при и два, если В остальных случаях решений нет.Равнобедренный треугольник с углом 
при вершине вписан в равносторонний треугольник со стороной 2 так, что эта вершина совпадает с серединой стороны равностороннего треугольника.
а) Найдите выражение для площади 
этого треугольника.
б) Покажите, что
в) Докажите, что 
Решение. а) Пусть изначальный треугольник имеет вершины A, B, C, а вписанный в него — вершины 
причем 
и 
По условию также 
то есть точки E, F лежат на окружности с центром в точке D. Такая окружность может пересекать стороны AB и BC один или два раза. Поэтому возможны два принципиально различных случая.
1) Скорее всего имелся в виду параллельность EF и AC. Тогда
треугольники AED и CFD равны по трем сторонам,
и
По теореме синусов для треугольника AED получаем
Значит
2) Прямые EF и AC параллельны. Опустим из D перпендикуляры DH и DK на AB и BC соответственно. Тогда одна из точек E и F попадет на отрезок соответственно AH и CK, а вторая — нет. Пусть, для определенности, 
Рассмотрим точку 
симметричную E относительно H. Тогда треугольники EDH и 
равны по двум катетам, 
и прямые E1F и AC параллельны. Обозначим также
тогда
откуда
Тогда
то есть второй случай возможен только при 
Далее,
поэтому 
и
поэтому определить ответ однозначно в этом случае невозможно. Можно лишь дать границы для ответ — 
и 
(в случае, когда 
получаем предыдущий случай, его ответ пришлось добавить, поэтому интервал полуоткрытый).
б) Обозначив через a боковую сторону равнобедренного треугольника (см. рис.), по теореме синусов
откуда 
и
в) Чтобы упростить исследование функции 
удобно сделать замену 
при 
откуда 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Найдите площадь подграфика функции
б) Покажите, что 
в) Докажите, что для любых четырех чисел 
где 
верно неравенство
В каком случае имеет место равенство?
Решение. а) График функции f изображен на рисунке, и искомая площадь равна
б) Поскольку уравнение 
задает верхнюю полуокружность с радиусом 1 (см. рис.), то данный интеграл равен четверти площади круга, 
в) Прежде всего заметим, что функции
и 
являются взаимно обратными, поэтому первый интеграл равен площади криволинейного треугольника OAC (см. рис.), второй — площади OBE, а объединение этих двух фигур содержит прямоугольник OADB, площадь которого равна ab. Равенство имеет место, если точки E и C совпадают, 
Собственно говоря, методическая идея построения данной задачи состояла в том, чтобы подвести учащихся к решению пункта в).
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
