PDF-версии: 
а) Постройте эскиз графика функции 
б) Изобразите на плоскости множество точек 
для которых при всех x верно неравенство
в) Найдите наибольший радиус круга, лежащего в верхней полуплоскости, касающегося оси абсцисс в начале координат и не имеющего других общих точек с параболой 
г) Докажите, что 
при всех натуральных n.
Решение. а) Ясно, что функция 
определена только при 
и при условии 
то есть 
При таких x преобразуем функцию
Обозначим временно 
и решим неравенство 
Метод интервалов дает ответ 
то есть 
Если бы мы строили график 
то он был бы гиперболой с вертикальной асимптотой 
и горизонтальной
Поскольку —
эскиз графика 
(несколько подходящих точек поставлены точно) и результат отражения нижней части графика для получения итогового ответа 
Ответ: см. рис.
б) Перепишем неравенство в виде
Ясно, что 
принимает все значения от −1 до 1 включительно. Тогда наименьшее значение левой части равно 
а знак можно выбрать так, чтобы результат был отрицательным. Итак, требуется чтобы 
И наоборот, выполнения этого неравенства достаточно, чтобы условие
выполнялось всегда. Построим график 
и отметим все точки ниже этого графика.
Ответ: 
(см. рис.).
в) Обозначим центр этого круга за 
—
или 
Эта окружность не должна иметь общих точек с графиком 
кроме точки 
и этого достаточно — ведь тогда весь круг будет лежать внутри параболы. Попробуем найти их общие точки. Подставим в уравнение окружности 
или 
Значит либо 
(это разрешается), либо 
Это уравнение не имеет корней при 
имеет корень при 
и имеет другие корни при 
Поэтому максимальный радиус круга равен 
Ответ:
г) Пусть 
Если 
то 
а при
Осталось заметить, что
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
(см. рис.). (см. рис.). 
в двух разных точках.
совпадает со знаком выражения 
можно записать неравенство в виде 
отрицателен при 
и равен нулю при 
Второй множитель, 
представляет собой убывающую функцию (
убывает, x возрастает, равную нулю при 
поэтому он положителен при 
и отрицателен при 
а при 
он не определен. Нужно, чтобы множители имели одинаковый знак, поэтому ответом будет 
тогда
тогда 
Поделим на него 
получим 
или 
В первое неравенство годятся только x, при которых 
то есть 
Неравенство 
имеет решения 
Окончательно 
Допустим это точки 
причем 
Тогда уравнения касательных будут 
Тогда получим
можно разделить на 
тогда
и 
должны быть корнями уравнения 
поэтому у него нет двух различных корней. Кубический многочлен не может делиться 
—
— многочлен и 
Тогда 
Действительно, так как 
то 
где 
— многочлен. Продифференцировав это равенство, получаем 
откуда 
значит, 
и 
касается графика многочлена 
то разность 
делится на 
(
— линейная функция) касается графика 
в точках с абсциссами 
и 
то разность 
делится на 
значит, 
— квадратный трехчлен. Пусть 
— еще одна двойная касательная. Тогда 
откуда 
то такое равенство невозможно, поскольку в его правой части находится многочлен по крайней мере второй степени.
при отображении, сопоставляющем числу z число 
то треугольник с вершинами в точках a, b, c содержит начало координат.
Поскольку 
то 
Точка w принадлежит образу полуплоскости 
тогда и только тогда, когда 
где 
и 
таким образом, начало координат лежит внутри выпуклой оболочки точек a, b, c, 
— корень уравнения, 
то 
перестановок. Если теперь заменить большие буквы на маленькие, получится один из вариантов перестановок для слова «аллах», при этом каждый вариант получится по 4 раза (есть два варианта, какая из букв "`а"' была большой, а в каждом из них - два варианта, какая из букв «л» была большой). Поэтому ответ 
30.
